
Андрей Андреевич Климов родился 1 сентября 1922 года. В 1930 году поступил в Московское хореографическое училище при ГАБТ, в 1940 году – в Государственный русский народный хор имени М. Е. Пятницкого, где был солистом танцевальной группы до 1963 года.
В годы Великой Отечественной войны с коллективом хора имени М.Е. Пятницкого выступал перед воинами на фронтах и в тылу, в госпиталях и в цехах оборонных заводов. Участник приёма и концерта в Кремле в честь парада Победы.
С 1963 года стал преподавателем русского танца в Московском академическом хореографическом училище при Большом театре. Создал русско-классическое отделение, которым руководил до 1975 г.
В 1971 году окончил театроведческое отделение ГИТИС имени А.В. Луначарского. В 1975 – 2004 гг. работал балетмейстером-постановщиком в Академическом хоре русской песни Гостелерадио СССР.
С 1969 года работал в Московском государственном университете культуры и искусств, сначала преподавателем русского народного танца, с 1986 года – профессором. В 2002 году ему было присвоено звание почетного профессора.
Являлся членом и председателем жюри Всесоюзных и республиканских конкурсов (III, IV и V Всесоюзные конкурсы артистов эстрады), неоднократно выступал в качестве главного балетмейстера-постановщика в Кремлёвском Дворце съездов, в Большом театре.
Создатель уникального учебного кинокурса "Русский народный танец", разработанного по заказу Министерства культуры СССР. Автор учебника "Основы русского народного танца" для студентов высших учебных заведений культуры и искусств, награждённого Большой бронзовой медали ВДНХ на смотре конкурсов учебников для высших учебных заведений в 1980—1981 гг.
Государственные награды Климова Андрея Андреевича:
1. Июнь 1946 г. Указом Президиума Верховного Совета СССР награждён медалью «За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941 1945 гг.».
2. Октябрь 1948 г. От имени Президиума Верховного Совета СССР награждён медалью «В память 800-летия Москвы».
3. Март 1952 г. Присуждена Сталинская премия первой степени (Государственная премия первой степени) за концертно-исполнительскую деятельность.
4. Октябрь 1957 г. Присвоено звание Заслуженного артиста РСФСР.
5. Июнь 1961 г. Награждён орденом Трудового Красного Знамени в связи с 50-летием хора им. Пятницкого.
6. Май 1969 г. Награждён Почётной грамотой Президиума Верховного Совета Удмуртской АССР.
7. Апрель 1970 г. От имени Президиума Верхового Совета СССР награждён юбилейной медалью «За доблестный труд в ознаменование 110-летия со дня рождения В.И. Ленина».
8. Декабрь 1973 г. Присвоено знание Народного артиста РСФСР.
9. Декабрь 1983 г. От имени Президиума Верхового Совета СССР награждён медалью «Ветеран труда».
10. Ноябрь 1995 г. Указом Президента РФ награждён Орденом Почёта.
11. Октябрь 1997 г. Указом Президента РФ награждён медалью «В память 850-летия Москвы».
12. Ноябрь 2003 г. Объявлена Благодарность от Президента РФ за большой вклад в развитие отечественного хореографического искусства.
А.А. Климов награждён 9 медалями правительства Советского Союза и Российской Федерации.